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2012/09/23

今度は素数を1000万個計算してみた

先週と同じように 素数を計算していって,今週は1000万個まで計算することができました.ただし素朴な試し割りで計算しているので,案の定計算時間が加速度的に伸び,100万個までが約70秒で済んだのに対して,2159秒もかかってしまいました.もうこのあたりが限界ではないかと思いますが,その気になればさらに10倍の1億個程度までは行けそうな気がします.

さて,この範囲で最も長い素数どうしの間隔を調べてみると,

6957876 番目の素数 122164747 と,
6957877 番目の素数 122164969 との間

が 222 離れており,1000万個の範囲ではこれが最大で唯一のものであるとがわかりました.今回1000万個まで範囲を広げたので,もっと大きな間隔が見つかるかと思っていたのですが,意外と,素数の間隔は大きくならないものですね.100万個の範囲での最大間隔 154 と比べるとさほど大きくなっていません.

しかし,この間隔に上限はないということはすぐにわかります.なぜならば,任意に大きな自然数 n に対して,(n! + 2) から (n! + n) までは全て合成数なので,この区間を含む間隔は少なくとも (n - 2) です.従って,素数どうしの間隔に上限はありません.

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